주택시장 매칭모형과 금융비용 충격의 동태적 효과

주택시장을 온탕(hot market)과 냉탕(cold market)으로 구분하여 유동성(liquidity)에 초점을 맞춘 연구들에는 Caplin & Leahy(2011), Genesove & Han(2012), Krainer(2001), Novy- Marx(2009) 등이 있다. 온탕(hot market)은 주택가격이 평균 보다 높고 주택판매에 소요되는 시간이 비교적 짧은 시기를 가리키고 냉탕(cold market)은 주택가격이 평균 보다 낮고 주택판매에 비교적 긴 시간이 소요되는 시기를 가리킨다. 여기서 유동성(liquidity)이란 주택을 구입하거나 처분할 때까지 걸리는 시간으로 TOM(time on the market)을 의미한다.

Krainer(2001)은 주택 보유로부터 얻는 편익(dividend)의 변화를 통해서 주택가격, 주택판매에 소요되는 시간(liquidity), 그리고 주택거래량 사이의 관계를 설명하였다. Krainer(2001)은 주택보유로부터 얻는 편익을 전반적인 경제 상태에 따라 결정되는 요인과 이질적인 요인으로 구분했는데, 전반적인 경제 상태에 영향을 받는 편익의 변화로 인해 주택시장의 온탕과 냉탕이 결정된다.

Novy-Marx(2009)는 온탕과 냉탕을 오가는 주택시장을 설명하기 위해서 피드백 메커니즘을 갖는 주택시장 매칭모형을 제시하였다. 여기에서 주택시장 참가자들의 선택에 의해 주택시장에 발생하는 충격이 증폭될 수 있다. 구체적으로, 주택시장에 구매자들이 늘어날 경우 주택 구입에 상당한 시간이 소요되는데, 이 때 주택매매에 소요되는 시간(time-to-sale)이 짧아져 매물이 감소하고 주택구매자-주택판매자 비율은 상승한다. 따라서 주택 구입에 소요되는 시간은 보다 길어질 수 있어 온탕이 더욱 뜨거워지는 것이다.

Shimer(2007)의 미스매치모형을 이용한 Caplin & Leahy(2011)은 주택시장의 온탕-냉탕 특징을 포함하여 주택시장에서 관찰되는 중요한 특징인 주택가격의 높은 변동성과 주택가격 변화와 거래량 사이의 관계를 설명하였다.

유동성과 관련한 기존 연구들이 주택판매자들의 입장에서 주택판매에 소요되는 시간을 분석했다면 Genesove & Han(2012)는 이에 더하여 주택구매에 소요되는 시간(buyer time on the market)과 구매자들이 주택구매를 위해 얼마나 많은 집을 보러다니는가에 대한 유동성 지표도 추가로 분석하였다.

Head et al.(2014)는 도시가구의 소득변화가 주택가격, 도심지역 인구, 신규주택건설, 주택거래량 및 TOM에 미치는 효과를 분석하였다. 도시가구의 소득 증가가 도시로의 인구유입과 주택수요를 확대함으로써 주택가격이 상승하고 거래량은 증가하며 TOM이 단축되는 현상을 구조적 VAR(Vector Autoregression) 모형을 통해 확인한 뒤 이를 매칭모형을 통해 재현하였다.

Ngai & Tenreyro(2014)는 주택시장의 온탕-냉탕 연구를 계절적 요인으로 치환하여 성수기(hot season)-비수기(cold season) 관점에서 분석하였다. 봄과 여름을 온탕에 해당하는 성수기로, 가을과 겨울을 냉탕에 해당하는 비수기로 구분한 뒤 계절적 요인(성수기-비수기)에 의한 주택가격과 거래량의 차이를 미국과 영국의 주택시장에서 확인하였다. 이어서 주택시장 매칭모형에 거래규모 효과(thick market effects)를 도입하여 주택시장에서 나타나는 계절적 변화를 효과적으로 설명하였다. 구체적으로, 성수기 이사수요의 증가로 매물이 늘어나면 마음에 드는(match quality) 주택을 보다 쉽게 찾을 수 있으므로(거래규모 효과) 거래량은 증가한다. 마음에 드는 주택을 거래하는 경우 (그렇지 않은 주택을 거래할 때 보다) 매칭의 잉여가 크기 때문에 주택가격도 상승한다.

Anenberg(2016), Burnside et al.(2016), Piazzesi & Schneider(2009) 등은 주택시장의 마찰적인 특성과 더불어 정보 비대칭 문제와 주택시장 상태에 대한 이질적인 믿음이 주택시장의 변화를 설명하는 중요한 요인이라고 보았다.

먼저 Piazzesi & Schneider(2009)는 설문조사자료(Michigan Survey of Consumers)를 통해 경기과열 국면에서 ‘주택을 구입하기 좋은 시기’라고 생각하는 사람들의 비중이 상승한다는 사실을 확인하였다. 특히 향후 주택가격이 상승할 것으로 예상하는 사람들을 모멘텀 클러스터로 정의했는데, 이들의 비중이 경기과열 국면 끝으로 갈수록 오히려 상승한다는 사실을 발견하였다. 주택시장 탐색모형을 통해 미래 주택가격에 대해 낙관적인 전망을 갖고 있는 사람들의 비중이 비록 낮다고 하더라도 이들이 높은 가격을 지불하고서라도 주택을 구입하기 때문에 실제 체결된 주택거래의 상당 부분을 차지할 수 있고 따라서 주택가격도 상승할 수 있음을 보였다.

Anenberg(2016)은 주택판매자들이 주택에 대한 가치를 정확하게 알지 못한 상태에서 판매가격을 책정하는 상황을 미시자료를 통해 확인하였다. 이러한 현상을 반영하기 위하여 정보의 불완전성과 베이지언 러닝(Bayesian learning)을 주택시장 탐색모형에 적용한 후 Simulated Method of Moments으로 모형의 파라미터들을 추정하였다. 우선 주택가격 모멘텀 현상을 정보마찰(information frictions)을 포함한 모형의 시뮬레이션을 통해 효과적으로 재현하였다. 즉, 경제 여건의 변화로 인해 주택가격을 조정해야 하는 상황임에도 불구하고 판매자들이 이에 대한 정보를 즉시 획득하지 못하기 때문에 주택가격 증가율이 지속적으로 높은 수준을 유지하거나 지속적으로 낮은 수준을 유지하는 모멘텀 현상이 나타나는 것이다.

마지막으로 Burnside et al.(2016)은 향후 주택시장 펀더멘탈에 대한 믿음(또는 예상)이 사람들 사이에 이질적인 경우 주택시장의 주기적인 변화도 달라질 수 있음을 보였다. 주택시장의 주기적인 변화는 온탕(boom)으로 시작해서 냉탕(bust)으로 끝나는 경우도 있지만 온탕 상태가 지속되는 경우도 있다. 이러한 현상을 설명하기 위하여 Burnside et al.(2016)은 소셜 다이내믹스 (social dynamics)의 개념을 도입하여 사람들 사이의 믿음이 전이되는 상황을 모형화하였다. 주택시장 펀더멘털은 주택소유로부터 얻게 되는 상대적 효용으로 정의하였고 펀더멘털(상대적 효용)은 일정한 확률로 변화한다고 가정하였다. 사람들은 펀더멘털이 변화할 확률에 대해서는 동의하지만 구체적으로 어떤 값을 갖게 될지에 대해서는 서로 다른 견해를 갖는다. 모형에서는 낙관적(optimistic)인 견해를 갖는 사람들과 회의적(skeptical)인 견해를 갖는 사람들, 그리고 견해가 유동적(vulnerable)인 사람들이 공존한다. 낙관적인 견해를 갖는 사람들은 펀더멘털이 좋아질 것이라고 기대하지만 회의적인 사람들과 견해가 유동적인 사람들은 현재의 펀더멘털 상태가 지속될 것이라고 예상한다. 한편, 소셜 다이내믹스에 따르면, 신념이 약한 사람이 신념이 강한 사람을 만나면 강한 신념의 소유자에게 영향을 받아 자신의 신념을 바꾸게 된다. 예를 들어, 낙관적인 견해를 갖는 사람들이 매우 강한 신념을 갖고 있다고 해보자. 견해가 유동적인 사람들이 이들을 만나면 주택시장의 펀더멘털이 좋아질 것이라는 믿음을 갖게 된다. 반대로 회의적인 견해를 갖는 사람들이 매우 강한 신념을 갖고 있다고 해보자. 견해가 유동적인 사람들이 이들을 만난다면 주택시장의 펀더멘털이 현상태를 유지할 것이라는 믿음을 바꾸지 않을 것이다. Burnside et al.(2016)은 이질적인 믿음을 갖는 경제주체들로 구성된 주택시장 매칭모형을 만들고 여기에 소셜 다이내믹스를 도입하였다. 시뮬레이션 결과, 회의적인 견해를 갖고 있는 사람들이 매우 강한 신념을 갖는 경우, 주택구입을 선호하는 사람들의 숫자가 증가한 뒤 감소하여 온탕에서 냉탕으로의 변화가 나타난다. 반대로 낙관적인 견해를 갖는 사람들이 매우 강한 신념을 갖고 있다면, 주택구입을 선호하는 사람들이 지속적으로 증가하여 주택시장이 온탕을 유지하는 상황이 나타나게 된다.

DÍaz & Jerez(2013) 이후 주택시장 매칭모형은 온탕-냉탕 접근에서 경기변동으로 확대되고 있으며, 여기에는 이질적인 경제주체들과 이들의 의사결정이 내생적으로 이루어지는 과정들이 반영되고 있다.

유동성의 경기변동 특징에 초점을 맞춘 DÍaz & Jerez(2013)은 주택시장 매칭모형을 사용하여 기존 온탕-냉탕 연구를 경기변동으로 확대하였다. 경기변동 과정에서 주택가격, 매매물건 (vacancies), 거래량 및 TOM의 특징을 현실과 유사하게 재현하였다.

Gabrovski & Ortego-Marti(2019)는 경기변동 과정에서 주택 판매자들(매물)이 늘어날 때 주택 구매자들도 증가하는 양의 상관관계가 관찰되는데 이는 DMP 유형의 매칭모형 예측과는 상반되는 현상임을 확인하였다. DMP 유형의 노동시장 매칭모형은 베버리지 곡선(Beveridge Curve)을 구현할 수 있는데, 이는 구인자들(주택 구매자들)과 구직자들(주택 판매자들) 사이에 나타나는 음의 관계 또는 우하향하는 관계를 의미한다. Gabrovski & Ortego-Marti(2019)는 현실의 주택시장에서 나타나는 우상향하는 베버리지 곡선을 설명하기 위하여 주택 구매자들의 수가 내생적으로 결정되도록 기존 매칭모형을 확장하였다. 이를 통해 우상향하는 베버리지 곡선을 구현했을 뿐만 아니라 경기변동 과정에서 주택가격과 거래량, 그리고 TOM 사이의 상관관계도 효과적으로 설명하였다. Gabrovski & Ortego-Marti(2021)은 모기지 구입의 금융시장 마찰(credit frictions)을 주택시장 매칭모형에 도입하여 Gabrovski & Ortego-Marti(2019)를 확장한 것이다. 신용마찰 자체가 주택가격에 상당한 영향을 미치는 것은 아니지만 TOM에는 영향을 미친다는 사실을 확인하였다.

Ngai & Sheedy(2020)은 거래량의 변화를 분석하기 위해서 거래매물과 TOM에 초점을 맞추었는데, 특히 새롭게 등록되는 주택의 물량에 따라 거래량이 크게 영향을 받는다는 사실에 주목하였다. 기존 등록매물 가운데 거래가 성사된 주택의 비율을 매매율(거래건수÷기존 등록매물)로 정의하고, 전체 주택스톡(기존 등록매물은 제외) 가운데 신규 등록매물의 비율을 주거이동비율(신규 등록매물÷주택스톡)로 정의한 뒤 1989년부터 2013년까지 주택거래량의 변화를 분석한 결과, 주거이동비율의 변화가 거래량의 변화를 설명하는 데 중요한 변수임을 확인하였다. 이러한 사실을 바탕으로 경제 전반에 충격이 발생할 때 주거이동비율이 변동하도록 주거이동이 내생적으로 결정되는 매칭모형을 구축하였다. 주거이동 결정의 내생성은 현재 거주하고 있는 주택이 얼마나 마음에 드는가(match quality)에 따라 달라지는데, 모형에서는 시간이 흐를수록 현재 거주하고 있는 주택이 점차 마음에 들지 않게 된다. 따라서 주택을 보유한 사람들이 주택으로부터 얻는 만족감은 이질성을 갖는다. 모형의 캘리브레이션과 시뮬레이션을 통해 주거이동비율의 변화가 실제 관찰되는 거래량 변동의 상당 부분을 설명할 수 있음을 보였다. 한편, Ngai & Sheedy(2022)는 Ngai & Sheedy(2020)의 연구를 확장한 것으로 경제 전반에 발생하는 충격을 포함하여 경기변동 과정에서 주택시장의 주요 변수들의 변동성과 이들 사이의 상관관계를 분석하였다.

주택시장은 마찰적인 시장이다. 주택을 매입하고자 하는 사람은 일정 기간 탐색을 해야 하고 주택을 매각하고자 하는 사람도 즉시 처분하는 것이 용이하지 않다. 주택시장에서의 거래 규모는 구매자들과 판매자들의 매칭함수(matching function)로 표현하며 매칭함수는 다음과 같이 가정한다.

여기서 $N_t^B$는 t시점 주택을 구입하고자 하는 사람들(또는 가구들)의 수, $N_t^S$는 t시점 주택을 판매하고자 하는 사람들의 수, M_t는 t시점에 거래되는 주택의 수를 가리킨다. 한 사람은 하나의 주택을 구입하거나 판매할 수 있다고 가정한다. 주택 매입확률 m_t는 M_t/$N_t^B$와 같고 주택 판매확률 q_t는 M_t/$N_t^S$와 같다. 주택시장의 경색지표(tightness) θ_t는 구매자들($N_t^B$)과 판매자들($N_t^S$)의 비율로 정의한다.

모든 가계는 담보대출을 통해 주택을 구입한다고 가정한다. 담보대출시장(이하에서는 금융시장과 동일한 의미로 사용한다) 역시 마찰적인 시장이어서 즉각적인 담보대출실행이 불가능하다. 대출신청 후 심사를 통한 대출승인까지, 그리고 대출승인 이후 대출실행까지 일정 시간이 소요되는 현실을 반영한 것이다. 실제로 발생하는 대출실행의 규모(건수)는 대출신청자들과 금융업자들(또는 금융기관들)의 매칭함수로 표현하며 매칭함수는 다음과 같이 가정한다.

여기서 $N_t^A$는 t시점 대출신청자들(가구들)의 수, $N_t^F$는 t시점 금융업자들의 수, F_t는 t시점에 발생하는 대출실행 건수를 가리킨다. 대출신청을 한 어떤 사람이 주택담보대출을 받을 확률 f_t는 F_t/$N_t^A$와 같고 금융시장에 참여한 금융업자가 대출신청인을 만날 확률 a_t는 F_t/$N_t^F$와 같다. 대출시장의 경색지표(tightness) ϕ_t는 대출신청자들($N_t^A$)과 금융업자들($N_t^F$)의 비율로 정의한다.

모형 경제는 도심지역과 비도심지역으로 구분되며 사람들은 도심지역과 비도심지역 사이를 이동한다.¹⁾ 도심지역에 진입할 때 대출신청을 통해 주택담보대출 가능 여부가 결정되는데, f_t의 확률로 주택담보대출이 가능한 경우 주택 구매자가 되고 1-f_t의 확률로 주택담보대출이 불가능한 경우 임차인이 된다. 주택 구매자는 주택시장에서 자신에게 적합한 주택을 탐색(search)하고 한 기간 뒤 m_t의 확률로 주택을 구입할 수 있다. 주택구입에 성공하면 자가보유자가 되지만 1-m_t의 확률로 주택구입에 실패할 경우 다시 주택 구매자가 되어 주택을 탐색한다.

Diamond(1982), Mortensen & Pissarides(1994)와 같이 모형 경제의 가계는 위험 중립적이며 주택을 보유한 자가보유자들과 임차인, 주택 구매자들로 구분된다. 전체 주택 가운데 일부는 자가보유자들이 소유하고 있고, 일부는 임차인이 사용하고 있으며, 나머지는 주택시장에 매물로 등록된다.²⁾

가계는 다음과 같은 효용함수를 갖는다.

여기서 β는 할인인자, y_t는 t시점의 일반적인 소득, l_t는 건설부문에 투입하는 노동시간, w_t는 건설부문의 시간당 임금, ξ와 ɛ은 효용함수 파라미터, Ω_t는 가계가 자가를 보유할 경우 1의 값을 갖고 그렇지 않을 경우 0의 값을 갖는 지시함수, $v_t^o$는 자가보유에 따른 편익, R_t는 임차인이 부담하는 임대료를 가리킨다.³⁾t시점 가계의 소득은 두 가지로 구성되는데, 하나는 일반적인 소득 y_t이며 다른 하나는 건설부문에 투입한 노동으로부터 얻는 소득 w_tl_t이다. 건설부문에 투입하는 노동시간은 간단한 극대화문제를 통해 구할 수 있다. 건설부문에 투입하는 최적 노동시간은 $l_t=\xi w_t^{\epsilon }$와 같고 이를 효용함수에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

여기서 χ≡ξ/(1+ɛ)이다.

이하에서는 주택 구매자, 임차인, 자가보유자의 가치함수(value functions)를 정의한다. 주택 구매자(Buyers)의 t시점 가치함수 $V_t^B$는 다음과 같다.

여기서 $u_t^B$는 구매자가 t시점에 얻는 효용으로 $u_t^B=y_t+\chi w_t^{1+\epsilon }-R_t$와 같고, m_t는 자신에게 적합한 주택을 찾을 확률, 1-δ는 담보인정비율(loan-to-value ratio), P_t는 t시점 주택가격, λ_t는 주택담보대출금액의 할인된 현재가치 총합, β는 할인인자, E_t는 조건부 기대연산자, $V_{t+1}^O$과 $V_{t+1}^B$는 각각 t+1시점의 자가보유자 및 주택 구매자의 가치함수를 가리킨다. 주택 구매자가 m_t의 확률로 주택구입에 성공할 경우 주택가격의 δ에 해당하는 금액만 판매자에게 지급하고, t 시점부터 일정 금액을 금융기관에 원금과 이자의 형태로 납부해야 하며, t+1시점부터는 자가보유자가 된다. t시점 금융기관에 납부해야 하는 금액을 λ_t라고 하면, λ_t는 λ_t=λ_t+βE_t[Λ_t+1]과 같다. 주택가격의 나머지 차액 (1-δ)P_t는 금융기관이 판매자에게 지급한다. 1-m_t의 확률로 주택 구입에 실패한다면 t+1기에 다시 주택 구매자가 된다.

임차인(Renters)의 t기 가치함수 $V_t^R$은 다음과 같이 정의한다.

여기서 $u_t^R$은 임차인이 t시점에 얻는 효용, π^r은 임차인이 도심지역을 떠나서 비도심지역으로 이주할 확률, $V_{t+1}^X$과 $V_{t+1}^B$는 각각 t+1시점의 비도심지역 거주자 및 임차인의 가치함수를 가리킨다. 임차인이 1-π^r의 확률로 계속해서 도심지역에 거주한다면 t+1시점에도 임차인이 된다. 그러나 π^r의 확률로 도심지역을 떠난다면 t+1시점에는 비도심지역 거주자가 된다.

앞서 도심지역에 진입할 때 대출신청을 통해 주택담보대출 가능 여부가 결정된다고 하였다. t시점에 도심지역 진입 여부를 고민하는 사람들의 예상 가치함수 $V_t^A$는 주택 구매자가 될 때 얻는 가치와 임차인이 될 때 얻는 가치의 가중평균이라고 할 수 있다. 여기서 가중치는 f_t와 같다.

대출신청을 통해 주택담보대출이 가능하다면 주택 구매자가 될 수 있으나 그렇지 않다면 임차인이 되기 때문이다.

자가보유자(Homeowners)의 t시점 가치함수 $V_t^O$는 다음과 같이 정의한다.

여기서 $u_t^O$는 자가보유자가 t시점에 얻는 효용, π^o는 자가보유자가 도심지역을 떠나 비도심지역으로 이주할 확률, V_t+1은 주택을 처분(판매 혹은 임대)할 경우 얻게 되는 가치, s는 가구 구성원의 변화나 이직 등으로 인해 현재 보유한 주택을 처분(판매 혹은 임대)해야 할 확률을 가리킨다. 자가보유자가 π^o의 확률로 도심지역을 떠나야 할 경우 현재 보유한 주택을 처분하여 t+1시점에 V_t+1의 가치를 회수하고 비도심지역으로 이주하여 $V_{t+1}^X$를 얻는다. 1-π^o의 확률로 계속해서 도심지역에 거주할 경우 s의 확률로 현재 보유한 주택을 처분하고 새로운 주택을 구입하기 위해 탐색을 시작한다.

주택의 처분은 판매 혹은 임대를 의미한다. 주택을 판매할 때 얻게 되는 가치를 $V_t^S$로 표현하고 자신이 소유한 주택을 임대할 때 얻게 되는 가치를 $V_t^L$라고 표현하면 주택 처분에 따른 가치 V_t는 $V_t=\max \left\{V_t^S,V_t^L\right\}$라고 할 수 있다.

우선 t시점에 주택을 판매할 경우 얻게 되는 가치 $V_t^S$는 다음과 같다.

여기서 q_t는 t시점 주택 구매자를 만날 확률이고 P_t는 t시점 주택가격을 가리킨다. q_t의 확률로 주택 구매자를 만나면 협상을 통해 결정된 주택가격 P_t를 받고 주택을 판매하지만 1-q_t의 확률로 주택 구매자를 만나지 못하면 t+1시점에 계속해서 주택을 처분해야 하는 상황에 놓인다.

물론 t시점에 주택을 판매하지 않고 임대를 할 수도 있다. t시점에 자신이 소유한 주택을 임대할 때의 가치 $V_t^L$은 다음과 같이 정의한다.

여기서 R_t는 t시점의 임대료, ψ는 주택 소유주가 부담하는 유지보수비용을 가리킨다. 자신이 소유한 주택을 임대할 경우 R_t의 임대료 수입을 얻을 수 있지만 주택 관리에 따른 유지보수비용 ψ를 부담해야 한다. t+1기에는 계속해서 주택을 처분해야 한다.

분석의 편의상 주택을 임대할 때 얻게 되는 가치 $V_t^S$와 판매할 때 얻게 되는 가치 $V_t^L$이 동일하다고 가정한다. 따라서 $V_t=V_t^S=V_t^L$. 이를 이용하여 정리하면 다음 두 식을 얻을 수 있다.

여기서 <식 13>은 <식 11>로부터, <식 14>는 <식 12>로부터 도출한 것이다.

주택 구매자 및 임차인이 t시점에 얻는 효용 $u_t^B$와 $u_t^R$는 $y_t+\chi w_t^{1+\epsilon }-R_t$로 동일하다. 한편, 자가보유자가 t시점에 얻는 효용 $u_t^O$는 $y_t+\chi w_t^{1+\epsilon }-v_t^o$와 같고 $v_t^o$는 다음과 같이 정의한다.

여기서 v는 자가보유에 따른 편익, ψ는 유지보수비용, ο_t는 t시점 주택선호충격을 가리킨다. 주택선호충격(ο_t)은 다음과 같은 로그의 AR(1) 프로세스를 따른다.

여기서 ρ_ο 는 지속성을 나타내는 파라미터, $e_t^o$는 평균이 0, 표준편차가 σ_o인 정규분포를 따르는 랜덤변수를 가리킨다.

금융시장에는 무수히 많은 잠재적 금융업자들(금융기관들)이 존재한다. 이들은 가계의 주택구입을 위해 금융서비스를 제공할 용의가 있다. 금융기관이 t시점에 금융시장에 참여할 경우 대출심사 및 승인을 통해 얻게 되는 가치 $J_t^A$는 다음과 같이 정의한다.

여기서 κ는 금융시장 참여 및 대출심사 과정에서 발생하는 제반 금융비용, a_t는 대출신청인을 만날 확률, $J_{t+1}^B$는 대출신청인이 대출승인을 받은 후 주택을 탐색하는 동안 금융기관의 가치함수를 가리킨다. 자유진입조건을 가정하면 $J_t^A$는 0이 되어 위 식을 다음과 같이 간단하게 정리할 수 있다.⁴⁾

대출신청인이 대출승인을 받은 후 주택을 탐색할 때 금융기관의 가치함수 $J_t^B$는 다음과 같다.

대출승인을 받은 신청인(주택 구매자)이 주택을 탐색하는 동안 금융기관은 κ의 금융비용으로 대출실행에 필요한 자금을 조달한다. 신청인이 구매할 주택을 m_t의 확률로 찾게 되면 담보인정비율(1-δ)에 해당하는 금액을 대출해주고 t시점부터 이자와 원금을 받는다. t시점부터 받게 되는 이자와 원금의 할인된 현재가치의 총합 λ_t는 다음과 같다.

여기서 λ_t는 이자와 원금을 가리킨다.

주택시장과 금융시장 모두 마찰적인 시장이므로 거래에 참여한 당사자들 사이의 협상을 통해서 가격이 결정된다. 주택가격은 주택시장에 참여한 구매자들과 판매자들 사이의 협상을 통해서, 주택담보대출 원리금은 대출신청인과 금융기관 사이의 협상을 통해서 결정된다.

우선 주택가격은 다음과 같은 내쉬(Nash) 협상문제로부터 얻는다.

여기서 $S_t^B$는 주택 구매자의 잉여(surplus), $S_t^S$는 주택 판매자의 잉여(surplus), γ는 주택 구매자의 상대적 협상력을 가리킨다.

가계의 문제로부터 주택 구매자의 잉여는 $S_t^B=-\delta P_t-{\Lambda }_t+\beta E_t{V}_{t+1}^O-\beta E_t{V}_{t+1}^B$과 같고 주택 판매자의 잉여는 $S_t^S=P_t-\beta V_{t+1}$이 된다. 내쉬 협상문제로부터 도출한 주택가격은 다음과 같다.

주택가격은 담보인정비율과 관련한 파라미터 δ 및 주택담보대출 원리금의 현재가치인 λ_t에 모두 영향을 받는다. 이를 통해서 주택가격과 금융시장 사이의 긴밀한 관계를 확인할 수 있다.

매 시점 상환해야 하는 주택담보대출의 원리금도 다음과 같은 내쉬 협상문제를 통해 얻을 수 있다.

여기서 $S_t^A$는 대출신청인의 잉여(surplus), $S_t^F$는 금융기관의 잉여(surplus), η는 대출신청인의 상대적 협상력을 가리킨다. 가계 및 금융기관의 문제로부터 대출신청인의 잉여는 $S_t^A=V_t^B-V_t^R$ 과 같고 금융기관의 잉여는 $S_t^F=J_t^B$가 된다. 내쉬 협상문제로부터 도출한 주택담보대출의 원리금은 다음 식을 충족한다.

주택담보대출의 원리금은 주택시장의 마찰적인 요인(m_t) 및 금융기관의 조달비용(κ)에 영향을 받는다. 주택담보대출의 원리금 역시 주택시장과 밀접한 관계를 갖는다는 사실을 확인할 수 있다.

t시점 초 가계는 임차인과 주택 구매자, 그리고 자가보유자로 구분된다. 매 시점 일정 비율의 가계는 도심지역을 떠나기도 하고 일정 비율의 가계는 도심지역으로 유입되기도 한다. 주택시장의 매칭확률에 따라 주택 구매자들이 자가보유자가 되기도 하고 자가보유자는 주택 구매자가 되기도 한다. t시점의 임차인, 주택 구매자, 자가보유자를 각각 $N_t^R$, $N_t^B$, 그리고 $N_t^O$로 표현한 다음, 가치함수를 이용하여 t-1시점과 t시점 사이 이들 분포의 변화를 정리한다.

t시점 임차인들의 수 $N_t^R$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 π^r은 도심지역을 떠날 확률, f_t는 대출승인을 통해 주택 구매자가 될 확률, G_t는 도심지역에 진입할 확률, μ는 인구증가율, N_t-1은 t-1시점의 인구를 가리킨다. t시점 임차인들의 수는 첫째, t-1시점 임차인 가운데 도심지역을 떠나지 않은 사람들 $\left(1-{\pi }^r\right)N_{t-1}^R$과 둘째, 증가한 인구 가운데 도심지역을 거주지로 선택한 사람들 중 대출승인을 받지 못한 사람들 (1-f_t)G_t μN_t-1로 구성된다.

t시점 주택 구매자들의 수 $N_t^B$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 m_t-1은 t-1시점에 주택을 찾을 확률, π^o는 도심지역을 떠날 확률, s는 기존 주택을 처분하고 새로운 주택을 탐색할 확률을 가리킨다. t시점 주택 구매자들의 수는 첫째, t-1시점 주택 구매자들 가운데 주택을 구입하지 못한 사람들 $\left(1-m_{t-1}\right)N_{t-1}^B$, 둘째, t-1시점 자가보유자들 가운데 도심지역을 떠나지 않았으나 다른 주택을 탐색해야 하는 사람들 $\left(1-{\pi }^o\right)s{N}_{t-1}^O$, 셋째, 증가한 인구 가운데 도심지역을 거주지로 선택한 사람들 중 대출승인을 받아서 주택을 탐색하는 사람들 f_t G_t μN_t-1로 구성된다.

t시점 자가보유자들의 수 $N_t^O$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

t시점 자가보유자들의 수는 첫째, t-1시점 자가보유자들 가운데 도심지역을 떠나지 않고 기존 주택을 보유하고 있는 사람들 $\left(1-{\pi }^o\right)\left(1-s\right)N_{t-1}^O$, 둘째, t-1시점 주택 구매자들 가운데 주택을 구입한 사람들 $m_{t-1}{N}_{t-1}^B$로 구성된다.

주택건설은 두 단계로 이루어진다. 첫 번째 단계에서는 개발업자들이 미개발지를 이용하여 택지를 조성하고 조성된 택지를 건설업자들에게 판매한다. 두 번째 단계에서는 택지를 매입한 건설업자들이 건설인력을 투입하여 주택을 건설하고 건설한 주택을 주택시장에 공급한다.

t시점 초의 미개발지를 X_t-1으로, 도심지역의 범위를 U_t-1으로 각각 나타내고 도심지역의 범위 U_t-1은 매 시점 μ의 증가율로 확대된다고 가정한다. 즉, U_t = (1+ μ)U_t-1. 개발업자들이 미개발지 한 단위를 택지로 조성할 확률을 Γ_t로 표시하면 t + 1시점 초의 미개발지 X_t는 다음과 같다.

위 식에서 (1-Γ_t)X_t-1은 t시점 개발업자들이 택지조성을 포기한 미개발지를 가리키고 μU_t-1은 도심지역의 확대로 인해 추가로 늘어난 미개발지를 가리킨다.

t시점 초에 주택이 이미 건설되었거나 주택건설이 가능한 택지를 K_t-1로 표시하면 t시점에 추가로 조성되는 택지는 Γ_tX_t-1과 같다. 따라서 t시점과 t + 1시점 사이의 택지의 운동법칙(law of motion)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

건설업자들은 개발업자들이 조성한 택지를 단위당 Q_t의 가격으로 매입한 뒤 노동을 투입하여 주택을 건설한다. 한 단위의 택지에는 한 단위의 주택을 건설할 수 있다고 가정한다. 일정 기간 후에 주택건설이 완료되면 주택시장에 임대하거나 판매하여 일정한 수입을 얻는다. 택지 한 단위를 구입하는 건설업자의 가치함수 $V_t^C$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

Q_t는 t시점 택지 한 단위의 가격을 나타나고, A는 건설부문의 노동생산성으로 역수인 1/A은 주택 한 단위를 건설하기 위해 필요한 노동을 의미한다. w_t는 t시점 건설노동의 임금, τ는 건설에 필요한 최소 기간(time-to-build), V_t+τ는 τ기간 이후 주택처분(판매 또는 임대)을 통해서 얻게 되는 가치를 가리킨다. τ가 1이라면 주택건설에 한 기간이 소요된다. 즉, t시점에 주택을 건설하면 t + 1시점에 주택이 완공되어 주택을 처분(판매 또는 임대)할 수 있다. 만일 τ가 4라면 주택건설에 4기간이 소요된다. t시점에 주택건설에 필요한 노동을 투입했다면 t + 4시점에 도달해서야 주택을 처분할 수 있다. 건설업의 자유진입조건을 도입하면 택지 한 단위를 구입하는 건설업자의 가치함수 $V_t^C$는 0이 되고 <식 30>을 다음과 같이 정리할 수 있다.

모든 건설업자들이 t시점에 고용하는 노동을 L_t라고 한다면, AL_t에 해당하는 신규 주택투자가 t시점에 이루어진다. 그러나 최소 건설기간(time-to-build)으로 인해서 t시점에 이루어진 신규 주택투자는 t+τ시점에 도달해야 비로소 완성된다. t시점에 이루어진 신규 주택투자를 I_τ,t로 표현하면 I_τ,t = AL_t와 같고 $I_{\tau -1,t}=I_{\tau ,t-1},I_{\tau -2,t}=I_{\tau -1,t-1},\cdots ,I_{0,t}=I_{1,t-1}$. t시점 초의 주택스톡을 H_t-1로 표현하면, t + 1시점 초의 주택스톡은 다음과 같다.

여기서 I_0,t는 τ시점 이전에 이루어진 신규 주택투자를 가리킨다. 예를 들어, τ가 4인 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

<식 33>은 t기에 이루어진 신규 주택투자가 4기간을 기다려야 함을 의미하고, <식 34>는 t-1기에 이루어진 신규 주택투자가 t기가 되면 3기간을 기다려야 함을 의미한다. <식 35>는 t-1기에 3기간을 기다려야 하는 신규 주택투자가 t기가 되면 2기간을 기다려야 한다는 의미이며, <식 36>은 t-1기에 2기간을 기다려야 하는 신규 주택투자가 t기가 되면 1기간을 기다려야 한다는 의미이다. 마지막으로 <식 37>에 따라서 t-1기에 1기간을 기다려야 하는 신규 주택투자가 t기가 되면 주택스톡 H_t에 편입된다.

모형 경제에서 필요한 균형 조건은 건설부문의 노동시장 균형 조건, 주택시장 균형 조건, 택지시장 균형 조건이다. 건설부문의 노동공급과 노동수요가 일치해야 한다는 조건을 다음과 같이 표현할 수 있다.

임차인, 주택 구매자, 그리고 자가보유자 모두 동일한 시간 ℓ_t를 건설부문에 투입하기 때문에 총노동공급은 ${\ell }_t\left(N_t^R+N_t^B+N_t^O\right)$와 같다.

주택시장 균형 조건은 t시점 주택스톡 H_t-1이 임차인$\left(N_t^R\right)$, 주택 구매자$\left(N_t^B\right)$, 자가보유자 $\left(N_t^O\right)$, 그리고 주택시장에 나온 매물$\left(N_t^S\right)$의 합과 같다는 것이다.

마지막으로 택지 한 단위는 주택 한 단위와 동일하므로 택지시장 균형 조건을 K_t = H_t로 표현할 수 있다.

모형 경제의 정상상태(steady state)를 정의하기 위해서 증가하는 모든 변수들을 인구 N_t로 나누어 1인당 변수로 표현한다. 여기에는 임차인, 주택 구매자, 자가보유자, 주택시장 매물$\left(N_t^R,N_t^B,N_t^O,N_t^S\right)$, 주택투자$\left(I_{0,t},I_{1,t},\cdots ,I_{\tau ,t}\right)$ 주택스톡, 택지, 미개발지, 도심면적$\left(H_{t-1},K_{t-1},X_{t-1},U_{t-1}\right)$, 대출신청자와 금융업자들$\left(N_t^A,N_t^F\right)$이 포함된다.⁵⁾$n_t^R\left(=N_t^R/N_t\right)$는 임차인 비율, $n_t^B\left(=N_t^B/N_t\right)$는 주택 구매자 비율, $n_t^O\left(=N_t^O/N_t\right)$는 자가보유자 비율, $n_t^S\left(=N_t^S/N_t\right)$는 주택매물 비율, $i_{\tau ,t}\left(=I_{\tau ,t}/N_t\right)$는 1인당 주택투자, $h_{t-1}\left(=H_{t-1}/N_{t-1}\right)$은 1인당 주택스톡, $k_{t-1}\left(=K_{t-1}/N_{t-1}\right)$은 1인당 택지규모, $x_{t-1}\left(=X_{t-1}/N_{t-1}\right)$은 1인당 미개발지, $u\left(=U_{t-1}/N_{t-1}\right)$은 1인당 도심면적, $n_t^A\left(=N_t^A/N_t\right)$는 대출신청자 비율, $n_t^F\left(=N_t^F/N_t\right)$는 금융업자 비율을 가리킨다.⁶⁾ 참고로, 1인당 주택스톡은 1인당 택지규모와 같고(h_t = k_t), 1인당 미개발지는 1인당 도심면적에서 1인당 택지규모(주택스톡)을 차감한 것과 같다(x_t = u-h_t). 모형의 동학(dynamic)을 결정하는 연립방정식은 부록에 정리하였다.

모형의 한 기간은 분기로 설정하였다. 연간 이자율이 3%가 되도록 가계의 할인인자 β를 0.9926로 설정하였다. 정상상태(steady state)에서 가계의 일반적인 근로소득 y는 1로 정규화(normalize)한다.

수도권 및 5대 광역시의 자가 비중은 국토교통부 「주거실태조사」의 점유형태 자료를 이용하였다. 자가 비중을 계산할 때에는 보증금이 없는 월세와 사글세는 제외하였다. 2010~2019년 평균 자가 비중은 54.3%와 같고 전세 및 월세(보증금) 비중은 45.7%와 같다. 따라서 n^O/(n^B+n^R+n^O)를 0.543으로 설정하였다.

도심지역을 떠날 확률 π^o와 π^r은 통계청 「국내이동통계」를 이용하여 계산하였다. 구체적으로, 시도 내에서 시·군·구간 이동한 사람들의 수와 시·도간 이동한 사람들의 수를 더한 다음 총 거주자 수(주민등록 인구 통계)로 나누어 이동확률을 계산하였다. 참고로 주민등록 인구 통계에는 거주자, 거주불명자, 재외국민이 모두 포함되어 있다. 이 가운데 총 거주자 수는 2010년 10월부터 제공되기 때문에 2010년 10월부터 2021년 12월까지 평균 이동확률을 계산할 수 있다. 해당 기간 동안 월평균 이동자 수는 386,829명이고 이동확률은 0.76%와 같다. 월평균 전출자들 가운데 주택을 소유한 사람들의 비율에 대한 정보를 확인하는 것은 불가능하기 때문에 미국 자료를 준용하여 4분의 1가량은 자가보유자들이고 나머지 4분의 3은 임차인들이라고 가정하였다(Head et al., 2014). 따라서 자가보유자들이 거주지역을 떠날 확률은 월평균 0.19%(분기평균 π^o = 0.57%), 임차인들이 거주지역을 떠날 확률은 월평균 0.57%(분기평균 π^r = 1.71%)와 같다.

모형에서 자가보유자가 계속해서 기존 주택에 거주할 확률은 (1-π^o)(1-s)와 같고 이로부터 평균 자가보유기간을 계산하면 1/[1-(1-π^o)(1-s)]가 된다. 재정패널자료를 이용한 강성훈(2017)에 따르면 2008∼2014년 사이 평균 주택보유기간은 대략 9년(36분기)이다. π^o가 0.57%와 같으므로 1/[1-(1-π^o)(1-s)]=36으로부터 계산한 s는 0.022와 같다.

인구증가율은 2010년 10월부터 2021년 12월까지 주민등록 인구 통계상의 총 거주자 수의 증가율과 같다고 가정한다. 동 자료의 분기 평균 증가율 0.06%를 μ로 설정하였다.

주택가격은 한국부동산원 부동산통계시스템(R-ONE)에서 제공하는 평균매매가격(종합주택유형)을 이용하였다. 2012년 1월부터 2021년 12월까지 수도권과 5대 광역시의 평균매매가격을 계산하기 위해 행정안전부 「주민등록인구현황」의 주민등록 인구를 가중치로 사용하였다. 동기간 수도권과 5대 광역시의 평균매매가격은 각각 3억 8,208만 원과 2억 2,614만 원이었으며 이를 가중평균한 평균매매가격은 약 3억 3,817만 원이다. 참고로 수도권과 5대 광역시의 평균 가중치(주민등록 인구 비중)는 각각 0.7176과 0.2824이다. 통계청 「가계동향조사」의 소득자료(1인 이상 도시가구)를 이용하면 주택의 가격이 소득의 몇 배에 해당하는지 계산할 수 있다. 분기별로 월소득 대비 평균매매가격 비율을 계산한 뒤 이를 평균하면 2012~2021년 사이 84.41의 값을 얻을 수 있다. 수도권 및 5대 광역시의 평균 주택가격은 도시 가구 연소득의 7배, 분기소득의 28배에 해당한다. 본 연구에서는 정상상태에서 가계의 일반적인 근로소득(분기소득) y를 1로 정규화했기 때문에 정상상태에서의 주택가격 P 를 28로 설정하였다.

한국부동산원 「부동산통계정보」의 월별 종합주택 평균 전세가격, 평균 월세 보증금, 평균 월세가격을 이용하여 월평균 주택 임대료를 계산하였다. 우선, 수도권과 5대 광역시의 가중평균을 계산하기 위하여 해당 권역의 주민등록 인구를 가중치로 사용하였다. 이어서 전세로 임대할 때 얻을 수 있는 임대수입과 월세로 임대할 때 얻을 수 있는 임대수입이 같다는 가정 하에 수익률(전월세 전환율)을 계산한다. 전세가격을 D₀, 월세 보증금을 D₁, 월세가격을 P_m으로 표현하면 수익률 ρ는 다음을 충족해야 한다: ρD₀ = ρD₁ + 12P_m. ρ에 대해 풀면, ρ = 12P_m/(D₀-D₁). 따라서 월평균 주택 임대료는 ρD₀/12 또는 ρD₁/12 + P_m과 같다. 참고로 월세 보증금 및 월세가격은 2015년 7월부터 제공되므로 <표 1>의 2015년 월평균 주택 임대료 91만 7천 원은 7월부터 12월까지의 평균이다. 2015~2021년 사이 소득 대비 주택 임대료 비율은 약 0.23과 같다. 월평균 소득은 통계청 「가계동향조사」의 1인 이상 도시가구의 소득자료를 이용하였다. 따라서 정상상태에서 임대료 R은 0.23으로 설정한다. 이상의 자료는 <표 1>에 정리하였다.

토지가격(택지가격)은 안지아·정주희(2012)의 토지와 건물 사이의 배분 비율 연구결과를 준용하였다. 5년 이하(신축 아파트 포함)의 중층(6∼15층) 아파트의 경우, 토지와 건물 배분 비율은 서울 6:4, 수도권 4:6, 5대 광역시 3:7과 같다. 본 연구에서는 수도권의 배분 비율 4:6을 적용하여 토지가격을 주택가격의 40%로 설정하였다(안지아·정주희, 2012, p. 55, 표 IV-21). 따라서 정상상태에서의 Q 는 0.4P 와 같다.

건설부문의 노동생산성은 국토교통부 「주택건설실적통계」의 월별 주택건설 인허가실적을 통계청 「경제활동인구조사」 건설업 취업자 수로 나누어 추정하였다. 2010년 1월부터 2021년 12월까지 계산한 건설업 취업자 1인당 주택건설 인허가실적은 월평균 0.024와 같다. 월평균 근로시간을 160시간(주당 40시간×4주)으로 가정하고 0.024를 160시간으로 나누면 시간당 주택건설 인허가실적은 0.000152가 된다. 모형의 건설부문 노동생산성은 1,000시간당 주택건설 인허가실적으로 정의하고 A를 0.152로 설정하였다.

주택시장의 매칭함수는 den Haan et al.(2000)과 Hagedorn & Manovskii(2008), 그리고 Moon(2011)에서 가정한 매칭함수를 사용한다.

여기서 $N_t^B$는 t시점 주택을 구입하고자 하는 사람들의 수, $N_t^S$는 t시점 주택을 판매하고자 하는 사람들의 수(또는 매물의 수), α는 매칭함수 파라미터를 가리킨다. 이와 같은 유형의 매칭함수를 사용하는 이유는 주택 구매자의 매칭확률과 주택 판매자의 매칭확률이 0과 1 사이의 값을 가져야 하기 때문이다. 구매자-판매자 비율 ${\theta }_t\left(=N_t^B/N_t^S\right)$를 이용하면 주택 구매자의 매칭확률과 주택 판매자의 매칭확률은 각각 $m_t={\left(1+{\theta }_t^{\alpha }\right)}^{-1/\alpha },q_t={\left(1+{\theta }_t^{-\alpha }\right)}^{-1/\alpha }$와 같다. 참고로, 구매자와 판매자에 대해 규모수익불변인 콥-더글라스 형태의 매칭함수 $\Theta \left(N_t^B,N_t^S\right)=m_0{\left(N_t^B\right)}^{\alpha }{\left(N_t^S\right)}^{1-\alpha }$도 고려해볼 수 있다. 그러나 외부적인 충격이 크다면 구매자-판매자 비율의 변동성이 증가하여 매칭확률이 1을 초과하는 경우가 빈번하게 발생한다.

고진수 외(2019)에 따르면 2014∼2016년 사이 서울시 아파트의 매매 소요기간은 평균 76일이었다. 종합주택 및 수도권으로 범위를 확대하면 평균 매매 소요기간이 76일 보다 늘어날 가능성이 높다. 하지만 실증분석 자료가 충분하지 않기 때문에 정상상태에서의 주택판매 소요기간이 평균 76일(2.5개월)과 같다고 가정한다. 구체적으로, 주택 판매자의 월별 매칭확률을 q^m으로 표현하면 q^m은 2.5분의 1, 즉 0.4가 된다. 1개월 안에 구매자를 만날 확률이 0.4이므로 3개월 연속 구매자를 만나지 못할 확률은 (1-0.4)³인 0.216과 같다. 따라서 정상상태에서 주택 판매자의 매칭확률 q는 0.784로 설정한다. 정상상태에서 구매자의 매칭확률 m과 구매자-판매자 비율 θ에 대한 실증자료를 찾는 것이 어려워 선행연구에서와 같이(Gabrovski & Ortego-Marti, 2019; Head et al., 2014) 구매자-판매자 비율 θ를 1로 설정하였다. 정상상태에서 θ가 1의 값을 갖는다면 구매자의 매칭확률 m은 판매자의 매칭확률 q와 같아진다. 정상상태에서 θ가 1인 경우, 주어진 매칭함수로부터 q = 2^-1/α가 성립하기 때문에 매칭함수 파라미터 α를 찾을 수 있고 α는 2.85와 같다.

자가보유자들의 편익 v는 $\left(\frac{1-\beta }{\beta }+d\right)\frac{\psi }{d}$와 같이 표현할 수 있다.⁷⁾ 여기서 d는 주택의 감가상각률, ψ는 유지보수비용을 가리킨다. 한국은행·통계청(2014) 20쪽 표 9에서 주거용 건물에 대한 2011년 감가율은 연 2.4%와 같다. 이를 분기로 변환하여 감가상각률 d를 0.6%로 설정하였다. 한편, 정상상태에서 <식 13>은 $V=\frac{q}{1-\left(1-q\right)\beta }P$와 같고, q, β, P 를 이용하여 계산한 주택처분에 따른 가치 V 는 27.94와 같다. 정상상태에서 <식 14>는 R = ψ + q(P-βV)와 같고 임대료 R을 0.23으로 설정했으므로 유지보수비용 ψ는 0.0267이 된다. 따라서 자가보유자들의 편익 v는 0.06과 같다.

금융시장의 매칭함수 역시 주택시장의 매칭함수와 그 형태가 동일하다고 가정한다.

여기서 $N_t^A$는 t시점 대출신청자들의 수, $N_t^F$는 t시점 금융업자들의 수, ω는 매칭함수 파라미터를 가리킨다. 대출신청자의 매칭확률(f_t)은 $f_t={\left(1+{\varphi }_t^{\omega }\right)}^{-1/\omega }$와 같고 금융업자들의 매칭확률(a_t)은 $a_t={\left(1+{\varphi }_t^{-\omega }\right)}^{-1/\omega }$와 같다. 정상상태에서의 매칭확률 f는 <식 25>를 통해서 구할 수 있다. 정상상태에서 <식 25>를 f에 대해 정리하면 $f=1-\frac{\mu +{\pi }^r}{\mu }\frac{\left(n^R/h\right)}{\left(G/h\right)}$가 되고 f는 0.307과 같다.⁸⁾ 주택시장과 같이 정상상태에서의 ϕ를 1로 설정하였다. 정상상태에서 ϕ가 1의 값을 갖는다면 대출신청자의 매칭확률 f는 금융기관들의 매칭확률 a와 같다. 정상상태에서 ϕ가 1인 경우, 주어진 매칭함수로부터 f = 2^-1/ω가 성립하기 때문에 매칭함수 파라미터 ω를 찾을 수 있고 ω는 0.59와 같다.

금융중개비용을 계산하기 위하여 Bernanke(1983)과 같이 회사채수익률과 국채금리 사이의 스프레드를 이용하였다. 본 연구에서는 금융기관들이 대출실행금액 (1-δ)P 를 조달하는 과정에서 일정한 비용을 부담해야 하는데, 해당 비용은 대출실행금액에 금리 스프레드를 적용한 것으로 간주한다. 우선 2010년 1월부터 2021년 12월 사이 회사채금리(BBB-)와 국고채(5년)금리 사이의 평균 스프레드를 계산하였다. 동기간 금리 스프레드는 6.37%(분기 약 1.6%)와 같다. 따라서 금융기관의 금융비용 κ는 0.016×(1-δ)P 로 설정한다. 주택을 구입할 때 구매자가 부담해야 하는 비율 δ는 0.6으로 설정하였다. 따라서 담보인정비율은 40%가 된다.

<식 25>-<식 27>의 도심지역에 진입할 확률 G_t는 다음과 같은 함수로 정의한다.

여기서 G는 상수, $V_t^A$는 대출신청인의 가치함수로 <식 9>와 같으며, V^A는 정상상태에서의 $V_t^A$의 값을 의미하고, σ는 탄력성을 측정하는 파라미터를 가리킨다. 정상상태에서 G는 도심지역의 인구비율을 의미한다.⁹⁾ 2012~2021년 사이 수도권 및 5대 광역시의 주민등록 인구를 전국 총 거주자 수로 나눈 비율은 평균 70%와 같다. 따라서 G는 0.7로 설정한다. σ의 값은 도심지역 인구증가율 표준편차가 모형에서의 결과와 데이터가 같아지도록 설정한다. 구체적인 설명은 다음 절에서 다루고 있다.

<식 28>과 <식 29>에서 소개한 미개발지 한 단위를 택지로 조성할 확률 Γ_t의 함수형태도 <식 42>와 유사하게 정의하였다.

여기서 Γ는 상수, Q_t는 t시점 택지의 가격, Q는 정상상태 택지가격, ν는 파라미터다. 본 연구에서는 주택 한 단위와 택지 한 단위를 동일하게 취급하기 때문에 모형 상의 건폐율은 사실상 100%와 같다. 이러한 한계를 보완하기 위하여 택지조성 단계에서부터 준공까지의 전체 과정에 건폐율을 확대적용하였다. 서울특별시 도시계획 조례 54조에 따르면 용도‧지역에 따라 건폐율은 40%~60%에 해당한다. 전용주거지역의 경우 1종 50%, 2종 40%이며, 일반주거지역의 경우 1종 60%, 2종 60%, 3종 50%와 같다. 여타 광역시도 다소 차이는 있으나 대체로 이와 유사하다. 본 연구에서는 정상상태에서의 건폐율이 50%라고 가정하고 Γ를 0.5로 설정하였다. 선행연구로부터 택지공급의 가격탄력성을 찾을 수 없어 정상상태에서 택지공급의 가격탄력성을 1로 설정하였다. 택지공급의 가격탄력성이 주어지면 파라미터 ν를 찾을 수 있으며 탄력성이 1인 경우, ν = (μ + Γ)/μ와 같다.¹⁰⁾

도심지역을 떠나 비도심지역에 거주할 때의 가치함수 $V_t^X$는 도심지역에서 평생 임차인으로 살 때 얻는 가치와 동일하고 시간에 관계없이 항상 일정한 값을 갖는다고 가정한다. 즉, $V_t^X=V^R$. 마지막으로 가계의 효용함수 파라미터 ξ, 주택가격과 주택담보대출 원리금 상환액에 영향을 미치는 상대적 협상력 γ와 η는 모두 모형 내에서 결정된다. 구체적으로 주택가격 협상에 있어 구매자의 상대적 협상력 γ는 <식 22>에 의해, 원리금 상환액 결정에 있어 대출신청인의 상대적 협상력 η는 <식 24>에 의해 결정된다. 정상상태에서 <식 22>는 다음과 같이 정리할 수 있다.

<식 44>에 의해 결정되는 구매자의 상대적 협상력 γ는 0.09와 같다. 정상상태에서 <식 24>는 다음과 같이 정리할 수 있다.

<식 45>에 의해 결정되는 대출신청인의 상대적 협상력 η는 0.26과 같다.

정상상태에서 결정할 수 없는 파라미터들은 건설부문 노동공급 탄력성 ɛ, 자가보유자에게 영향을 주택선호충격의 지속성 파라미터 및 표준편차 (ρ_ο, σ_ο), 도심 진입확률에 영향을 미치는 파라미터 ν 등이다. 건설부문 노동공급 탄력성 ɛ은 경기변동 과정에서 신규투자를 통해 주택건설에 영향을 미친다. 실제로 2011~2021년 사이 인구 1인당 주택(준공 기준) 증가율의 표준편차는 0.12%와 같다. 모형 경제의 인구 1인당 주택 증가율의 표준편차가 0.12%가 되도록 노동공급 탄력성 ɛ을 찾는다.

자가보유자에게 영향을 미치는 주택선호충격이 비교적 오랜 기간 지속된다고 가정하여 ρ_ο를 0.98로 설정하고 충격의 표준편차는 모형으로부터 얻는 주택가격의 증가율이 실제 자료와 같아지도록 하였다. 주택가격은 월별 계절조정 주택매매가격지수(수도권과 5대 광역시 지수의 가중평균으로 가중치는 주민등록 인구 비중을 사용)를 분기로 변환하여 사용하였다. 2010~2021년 사이 주택가격 증감율의 표준편차는 0.95%와 같다.

마지막으로 도심 진입확률을 결정하는 파라미터 ν는 모형으로부터 계산된 도심인구 비율 증가율의 표준편차가 실제 데이터와 유사하도록 설정하였다. 모형에서의 도심인구는 전체 인구에 대한 비율로 표현하며 n^R + n^B + n^O와 같다. 행정안전부 주민등록 인구 통계로부터 수도권과 5대 광역시 인구의 비율을 계산한 뒤 분기 평균 증가율의 표준편차를 구하면 0.03%가 된다. 자세한 내용을 <표 2>에 정리하였다.

수도권 및 5대 광역시 인구비중, 주택 준공실적으로 측정한 주택스톡, 주택매매가격지수, 그리고 주택거래현황의 증가율을 <그림 1>에 표현하였다. 모든 자료는 분기자료이며 증감률은 전기대비 증감률을 의미한다. <그림 1(a)>는 2010년 1분기∼2021년 4분기 사이 행정안전부 「주민등록인구통계」 기준, 전체 인구 대비 수도권 및 5대 광역시의 인구비율 증가율로, 평균은 0.06%이고 표준편차는 0.03%와 같다.

그림 1. 인구, 주택스톡, 주택가격 및 거래량 증감율 주: 모든 자료는 분기자료이며 증감율은 전기대비 증감율을 의미한다. 해당 지역(서울, 광역시, 경기도) 주민등록 인구를 가중치로 사용하였다. 자료: 행정안전부 「주민등록인구통계」, 국토교통부 「주택건설실적통계」, 국토교통부(2010), 부동산통계정보시스템.

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<그림 1(b)>의 주택준공실적 증감율은 국토교통부 「주택건설실적통계」의 주택준공실적 자료(수도권 및 5대 광역시)를 이용하여 계산하였다. 주택준공실적 자료는 2010년 8월부터 제공되기 때문에 2010년까지의 주택스톡은 국토교통부(2010)의 주택 수(등록센서스)를 사용하였다. 구체적으로 2010년 12월(최초 시점)의 주택스톡을 「주택보급률」의 2010년 수도권 및 5대 광역시의 주택 수인 1,182만 2,700호로 설정한 뒤 여기에 「주택건설실적통계」의 주택준공실적 월자료 더하여 2021년 12월까지의 주택스톡을 계산하고 이것을 분기자료로 변환하였다. 모형 주택스톡 변수와의 일관성을 위해서 주택스톡을 인구로 나누어 1인당 주택스톡으로 표현하였다. 2011년 1분기부터 2021년 4분기까지의 1인당 주택스톡의 전기대비 증감율은 평균 0.64%이고 표준편차는 0.12%와 같다.

<그림 1(c)>의 주택가격은 한국부동산원에서 제공하는 월간 계절조정 매매가격 종합지수를 사용하였다. 다른 변수들과 마찬가지로 수도권 및 5대 광역시 매매가격지수를 해당 지역의 인구로 가중평균하였고 월자료를 분기자료로 변환한 뒤 전기대비 증감율을 계산하였다. 2010년 1분기∼2021년 4분기 주택가격의 전기대비 증감율은 평균 0.63%, 표준편차는 0.95%와 같다.

마지막으로 모수 설정에는 사용하지 않았지만 모형으로부터 계산할 수 있는 변수 가운데 중요하다고 생각하여 실제 자료를 <그림 1(d)>에 표현하였다. 주택거래규모는 부동산통계정보 시스템에서 제공하는 월별·행정구역별 주택거래현황 자료를 이용하였다. 월별자료를 분기자료로 변환하고 모형의 변수와 일관성을 유지하기 위해서 인구로 나누어 1인당 거래량으로 표현하였다. 따라서 <그림 1(d)>의 주택거래 증감율은 전기대비 인구 1인당 주택거래량의 증감율을 의미한다. 1인당 주택거래량의 전기대비 증감율은 2010년 1분기부터 2021년 4분기까지 평균 0.39%에 불과하지만 표준편차는 25.4%에 달한다.

<표 3>에는 주요 변수들의 상관계수를 정리하였다. 먼저, 주택가격 증감율과 주택거래량 사이에 양의 상관관계가 나타나고, 주택 준공실적으로 측정한 주택스톡의 증감율과 주택거래량 사이에도 양의 상관관계가 나타난다. 그러나 주택가격 증감율, 인구증가율, 그리고 주택스톡 증감율 사이에는 동기간 유의한 상관관계를 확인할 수는 없다. 마지막으로 네 변수 모두 상당한 자기상관성을 갖는 것을 확인할 수 있다.

모형 경제의 현실 설명력을 판단하기 위해서 주택선호충격만을 포함하여 모의실험하였다. 주택선호충격 표준편차를 0.279, 충격의 지속성을 나타내는 파라미터를 0.98로 설정했을 때의 시뮬레이션 결과는 <표 4>와 같다.

모형으로부터 계산된 주택가격 증감율, 인구증가율, 주택스톡 증감율의 표준편차들은 현실과 유사하다. 다만, 주택거래량의 경우 2010~2021년 사이 전기대비 증감율의 표준편차가 0.254인데 반해 모형에 의해 설명되는 표준편차는 10% 수준인 0.0254와 같다. 현실에서는 주택거래량에 영향을 미치는 요인들이 매우 많다. 신도시의 건설, 주택 및 가구형태의 다양화, 지역적인 특수성 등도 영향을 미칠 수 있고, 미래 주택가격에 대한 경제주체들의 기대 변화와 전반적인 거시경제 상황의 변화도 주택거래량에 영향을 미칠 수 있다. 본 연구에서는 이러한 다양한 요인들을 모두 충격으로 반영하지 못하는 한계가 있기 때문에 실제 표준편차 가운데 일부만 설명할 수 있는 것이다. 그럼에도 불구하고 자가보유자들의 주택선호충격이 주택거래량 증감율 변동의 일부를 설명할 수 있다는 점에서는 본 연구의 의의가 명확하게 확인된다고 하겠다.

<표 4>의 상관계수에서도 모형의 긍정적인 측면과 부정적인 측면을 모두 확인할 수 있다. 우선 모형의 긍정적인 측면은 다음과 같다. 실제 데이터에서는 주택거래량을 제외한 여타 변수들과 (주택가격 증감율, 인구증가율) 주택스톡 증감율 사이의 동기간 상관관계가 0에 가까운데, 모형의 시뮬레이션을 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이것은 모형 경제에 도입된 최소 건설기간 (time-to-build)에 대한 가정에서 비롯된 것으로 향후 매칭모형에서 주택건설을 고려할 때에는 최소 건설기간 가정이 수반될 필요가 있다. 특히 모형 경제는 주택스톡 증감율과 주택거래량 사이의 양의 상관관계를 매우 잘 설명하는 것으로 나타난다.

모형 경제의 다소 아쉬운 부분은 주택가격과 인구증가율, 그리고 주택가격 증감율과 주택거래량 사이의 상관관계에 있다. 첫째, 도심지역 주택가격의 상승률이 높을 때 도심지역의 인구증가율이 하락하는 패턴은 실제로 관측될 가능성이 높은 현상이다. 모형 경제는 이러한 상관관계를 비교적 뚜렷하게 설명하지만 현실에서는 두 변수 사이의 동기간 상관계수가 0에 가까운 값을 갖는다. 이는 현실에서의 거주지 이전이 일정 시차를 두고 나타나기 때문이다. 둘째, 현실에서는 주택가격의 상승률이 높을 때 주택거래량도 늘어나는 패턴이 나타난다. 이러한 양의 상관관계가 비교적 강하지는 않지만 0.4에 가까운 상관계수를 갖는다. 그러나 모형 경제의 주택가격 증감율과 주택거래량 사이에서는 유의한 상관관계가 나타나지 않는다.

<그림 2>는 주택선호충격이 1-표준편차(0.279)만큼 발생할 때 주택가격, 주택스톡, 인구, 주택거래량에 미치는 효과를 충격반응함수로 표현한 것이다. 먼저, 주택선호충격이 1-표준편차 만큼 발생한다면 충격 직후 주택가격은 약 1% 정도 상승한다는 사실을 <그림 2(a)>와 <그림 2(b)>를 통해 확인할 수 있다. 전기대비 주택가격의 증감율 <그림 2(a)>는 충격 직후 정상상태로 빠르게 회귀하지만 주택가격 <그림 2(b)>는 충격 직후 1% 상승한 뒤 하락한 다음 비교적 오랜 기간 동안 다소 높은 수준을 유지한다. <그림 2(c)>와 <그림 2(d)>는 주택가격의 상승이 택지가격 상승을 촉발하여 주택건설이 확대되는 효과가 있음을 보여준다. 그러나 4분기 정도의 건설기간(time-to-build)으로 인해서 충격 발생 이후 5분기부터 주택스톡의 증가율이 상승하고 주택스톡이 지속적으로 늘어난다. 주택거래량 <그림 2(e)>는 충격 직후 소폭 증가하다가 5분기 이후부터 주택시장에 신규주택물량이 공급되면서 큰 폭으로 증가한다. 마지막으로 인구증가율 <그림 2(f)>는 충격 직후 도심지역 인구가 감소하지만 주택가격이 안정되면서 다시 증가한다는 것을 보여준다.

그림 2. 주택선호충격에 따른 충격반응함수: 가격과 거래량 주: 주택선호충격 1-표준편차(0.279)에 따른 충격반응함수; (로그) 표시한 변수들은 정상상태로부터 로그값의 차이.

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<그림 3>은 주택시장과 금융시장에서의 매칭확률이 충격에 어떻게 반응하는지 보여준다. 선호충격이 발생한 후 5~6분기까지는 주택 구매자들의 비율(n^B)이 상승하지만 이후에는 하락한다. 반면, 주택가격 및 택지가격이 지속적으로 높은 수준을 유지함에 따라 주택건설(신규주택의 공급)은 5분기부터 증가하는데, 이로 인해 충격 직후 구매자-판매자 비율(θ)은 일정 수준을 유지하다가 5분기 이후부터 하락한다. 따라서 구매자들이 판매자들을 만날 확률(m)은 상승하고 판매자들이 구매자들을 만날 확률(q)은 하락한다. 판매자들의 매칭확률 하락에도 불구하고 신규주택이 더 크게 증가하기 때문에 <그림 2(e)>에서와 같이 충격 직후 주택거래량(q × n^S)은 증가하는 것이다.

그림 3. 주택선호충격에 따른 충격반응함수: 주택시장과 금융시장의 마찰 주: 주택선호충격 1-표준편차(0.279)에 따른 충격반응함수; 정상상태로부터 로그값의 차이.

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한편, 주택가격이 상승함에 따라 대출을 실행하는 금융기관들의 기대수입(J^B)은 증가한다. 대출시장에서 대출실행을 희망하는 금융기관들이 증가하면서 금융시장의 경색지표인 대출신청인- 금융기관 비율(ϕ)은 하락하고 대출신청인들이 대출심사를 통해 담보대출을 받게 될 확률(f)은 상승한다.

금융기관들이 금융시장 마찰을 통해 부담해야 하는 금융비용을 κ로 표현하였다. 물가안정목표제 하에서 중앙은행의 정책금리가 인상될 경우, 또는 금융당국의 대출규제강화로 인해 예상하지 못한 추가적인 비용이 발생할 경우 대출시장에 참여하는 금융기관의 금융비용도 증가할 가능성이 높다. 이러한 현상을 설명하기 위하여 금융비용 κ에 비용상승충격을 포함하였다. 금융기관의 자유진입조건 <식 18>과 가치함수 <식 19>를 각각 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

여기에서 $\ln {\kappa }_t=\left(1-{\rho }_{\kappa }\right)\ln \kappa +{\rho }_{\kappa }\ln {\kappa }_{t-1}+e_t^{\kappa },e^{\kappa }\sim N\left(0,{\sigma }_{\kappa }^2\right)$.

이어지는 시뮬레이션에서는 비용상승충격의 지속성 파라미터 ρ_κ와 표준편차 σ_κ를 각각 0.98과 0.01로 가정하고, 1% 충격이 발생할 경우 주택시장 전반에 나타나는 변화와 매칭확률에 나타나는 변화를 분석한다.

<그림 4>는 금융비용충격이 1-표준편차(0.01)만큼 발생할 때 주택가격, 주택스톡, 인구, 주택거래량에 미치는 효과를 충격반응함수로 표현한 것이다. 금융비용 상승충격이 1-표준편차 만큼 발생한다면 충격 직후 주택가격은 약 0.03% 정도 하락한다(<그림 4(a)>, <그림 4(b)>). <그림 2>에서와 마찬가지로, 전기대비 주택가격의 증감율 <그림 4(a)>는 충격 직후 정상상태로 빠르게 회귀한다. 그러나 주택가격 <그림 4(b)>는 충격 직후 크게 하락한 뒤 다시 소폭 상승하지만 비교적 오랜 기간 동안 낮은 수준을 유지하기 때문에 충격 이전 수준으로 돌아가는데 상당한 시간이 소요된다. <그림 4(c)>와 <그림 4(d)>는 주택가격과 택지가격의 하락으로 주택건설이 위축되는 현상을 보여준다. 건설 소요기간(time-to-build)으로 인해 충격의 여파는 5분기 이후부터 나타난다. 주택거래량 <그림 4(e)>는 충격 직후 0.1%~0.2%까지 감소하고 신규주택공급이 본격적으로 감소하는 5분기부터 0.1% 가량 더 감소한다. 마지막으로 금융비용의 상승으로 인해 대출가능성이 하락하여 도심진입을 통한 주택구입에 어려움이 이전보다 높아지기 때문에 도심지역의 인구증가율 <그림 4(f)>는 충격 직후 하락한다. 대출가능성에 대한 이야기는 <그림 5>를 통해 보다 구체적으로 살펴볼 수 있다.

그림 4. 금융비용충격에 따른 충격반응함수: 가격과 거래량 주: 비용상승충격 1-표준편차(0.0.1)에 따른 충격반응함수; (로그) 표시한 변수들은 정상상태로부터 로그값의 차이.

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그림 5. 금융비용충격에 따른 충격반응함수: 주택시장과 금융시장의 마찰 주: 비용상승충격 1-표준편차(0.0.1)에 따른 충격반응함수; 정상상태로부터 로그값의 차이.

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<그림 5>는 비용상승충격이 발생할 때 주택시장과 금융시장에서의 경색지표(tightness)들과 매칭확률들이 어떻게 변화하는지 보여준다. 비용상승충격이 발생하면 대출승인을 받을 수 있는 사람들이 전보다 줄어들어 주택 구매자들의 비율(n^B)은 하락한다. 한편, 주택가격 및 택지가격이 지속적으로 낮은 수준을 유지하기 때문에 주택건설(신규주택의 공급)은 5분기부터 감소한다. 이로 인해 구매자-판매자 비율(θ)이 충격 직후에는 구매자들의 감소로 인해 하락하지만, 10분기 이후부터는 주택 판매자 수가 보다 크게 감소하기 때문에 오히려 충격 이전 수준을 상회하게 된다. 충격 직후 구매자-판매자 비율이 하락하면, 구매자들이 판매자들을 만나는 것은 전보다 쉬워(m의 상승)지고 판매자들이 구매자들을 만나는 것은 전보다 어려워(q의 하락)진다.

금융비용의 추가 상승과 주택가격 하락으로 인해 대출을 실행하는 금융기관들의 기대수입(J^B)은 감소하고 대출시장에 진입하는 금융기관들의 수는 감소한다. 따라서 대출신청인-금융기관 비율(ϕ)은 상승한다. 금융시장의 경색지표 ϕ가 상승하면 대출신청인들이 대출심사를 통해 담보대출을 받게 될 확률(f)은 하락하지만 금융기관들이 대출신청인을 만날 확률(a)은 상승한다.

예상하지 못한 금융비용의 상승은 주택가격 및 주택가격의 하락을 초래한다. 뿐만 아니라 판매자들의 매칭확률을 떨어뜨려 주택매매에 소요되는 시간(time-to-sell)이 전보다 늘어나는 현상도 나타난다. 중앙은행의 정책금리(policy rate) 인상과 금융당국의 대출규제 강화가 금융비용을 높이는 충격으로 작용한다면, 주택가격이 하락하고 주택거래가 위축되어 주택 판매에 소요되는 시간도 늘어날 수 있다.